Was macht eine Stellung legal?

Eine „legale“ Stellung ist eine Anordnung, die vom gelösten Würfel aus allein durch Drehen der Seiten erreichbar ist. Anordnungen, die nur durch Auseinandernehmen und Neuzusammensetzen oder durch Umkleben der Aufkleber entstehen können, nennt man „illegal“.

Die 3 Bedingungen für einen legalen 3x3x3

Aus der Gruppentheorie ist bekannt, dass eine 3x3x3-Anordnung nur dann tatsächlich erreichbar (legal) ist, wenn alle drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(1) Die Permutation der Ecken und die der Kanten müssen beide gerade sein (nicht nur eine von beiden ungerade).
(2) Die Summe der Eckenorientierungen muss ein Vielfaches von 3 sein.
(3) Die Summe der Kantenorientierungen (Anzahl geflippter Kanten) muss ein Vielfaches von 2 sein.
Umgekehrt ist jede Anordnung, die diese drei Bedingungen erfüllt, tatsächlich erreichbar.

Wie viele Anordnungen gibt es?

Der 3x3x3-Würfel hat 43.252.003.274.489.856.000 verschiedene Anordnungen, der 2x2x2-Würfel 3.674.160. Diese Zahlen sind weithin bekannt.

Der Fall 2x2x2

Der 2x2x2 hat keine Kanten, daher entfallen die Bedingungen (1) und (3); übrig bleibt nur, dass die Summe der Eckenorientierungen ein Vielfaches von 3 sein muss (die Permutation selbst ist frei).

Parität bei 4x4x4 und 5x5x5

Bei 4x4x4 und 5x5x5 sind gleichfarbige Center und Kantenpaare nicht unterscheidbar. Reduziert man auf eine 3x3x3-Lösung, kann es so aussehen, als wäre „nur ein Paar vertauscht“ (allgemein als OLL-Parität bzw. PLL-Parität bezeichnet). Das ist kein illegaler Zustand, sondern ein bekanntes Phänomen, das speziell bei geradzahligen Würfeln auftritt.

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