Что Делает Позицию Легальной?

«Легальная» позиция — это любое расположение, которого действительно можно достичь из собранного кубика, просто вращая его грани. Расположения, которые можно получить только разобрав кубик и собрав иначе, или отклеив наклейки, называют «нелегальными».

3 условия легальности 3x3x3

Из теории групп хорошо известно, что расположение 3x3x3 действительно достижимо (легально), только если выполняются все три условия.
(1) Перестановка угловых и перестановка рёберных элементов должны быть обе чётными.
(2) Сумма ориентаций угловых элементов должна быть кратна 3.
(3) Сумма ориентаций рёберных элементов (число перевёрнутых рёбер) должна быть кратна 2.
И наоборот, любое расположение, удовлетворяющее этим трём условиям, действительно достижимо.

Сколько всего расположений?

Кубик 3x3x3 имеет 43 252 003 274 489 856 000 различных расположений, а кубик 2x2x2 — 3 674 160. Эти числа широко известны.

Случай 2x2x2

У кубика 2x2x2 нет рёбер, поэтому условия (1) и (3) выше отпадают; остаётся лишь условие, что сумма ориентаций угловых элементов кратна 3.

Чётность на 4x4x4 и 5x5x5

На 4x4x4 и 5x5x5 одноцветные центры и пары рёбер неразличимы, поэтому сведение к решению в стиле 3x3x3 может оставить состояние, выглядящее так, будто «переставлена только одна пара» (обычно называемое OLL-чётностью или PLL-чётностью). Это не нелегальное состояние, а хорошо известное явление, характерное именно для кубиков чётного размера.

© アサラボ