वैध स्थिति क्या होती है?

एक «वैध» स्थिति वह व्यवस्था है जो हल किए गए क्यूब से केवल फलकों को घुमाकर वास्तव में प्राप्त की जा सकती है। जिन व्यवस्थाओं को केवल क्यूब को खोलकर दोबारा जोड़ने या स्टिकर बदलने से बनाया जा सकता है, उन्हें «अवैध» कहा जाता है।

वैध 3x3x3 के लिए 3 शर्तें

समूह सिद्धांत का एक प्रसिद्ध तथ्य यह है कि 3x3x3 की व्यवस्था तभी वास्तव में प्राप्त करने योग्य (वैध) होती है जब निम्नलिखित तीनों शर्तें पूरी हों।
(1) कॉर्नर और एज दोनों का क्रमपरिवर्तन सम होना चाहिए।
(2) कॉर्नर की दिशाओं का योग 3 का गुणज होना चाहिए।
(3) एज की दिशाओं का योग (पलटे हुए एज की संख्या) 2 का गुणज होना चाहिए।
इसके विपरीत, इन तीनों शर्तों को पूरा करने वाली हर व्यवस्था वास्तव में प्राप्त करने योग्य है।

कुल कितनी व्यवस्थाएँ हैं?

3x3x3 क्यूब में 43,252,003,274,489,856,000 अलग-अलग व्यवस्थाएँ होती हैं, और 2x2x2 क्यूब में 3,674,160। ये संख्याएँ व्यापक रूप से ज्ञात हैं।

2x2x2 का मामला

2x2x2 क्यूब में एज नहीं होते, इसलिए ऊपर की शर्तें (1) और (3) लागू नहीं होतीं; केवल यह शर्त बचती है कि कॉर्नर की दिशाओं का योग 3 का गुणज हो।

4x4x4 और 5x5x5 पर पैरिटी

4x4x4 और 5x5x5 पर, समान रंग के सेंटर और एज जोड़े अलग-अलग नहीं पहचाने जा सकते, इसलिए 3x3x3-शैली में हल करने पर ऐसी स्थिति दिख सकती है जैसे «केवल एक जोड़ी बदली हो» (आमतौर पर OLL पैरिटी या PLL पैरिटी कहलाती है)। यह अवैध स्थिति नहीं है, बल्कि सम आकार के क्यूब की एक जानी-मानी विशेषता है।

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