합법한 배열이란?

「합법한 배열」이란 맞춰진 상태에서 실제로 면을 돌리는 조작만으로 도달할 수 있는 배열을 말합니다. 조각을 분해해서 다시 배치하거나 스티커를 바꿔 붙여야만 만들 수 있는 배열은 「비합법」이라고 부릅니다.

3x3x3이 합법이기 위한 3가지 조건

군론에서 잘 알려진 사실로, 3x3x3의 배열이 실제로 도달 가능(합법)하려면 다음 3가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
(1) 코너의 순열과 엣지의 순열은 모두 짝순열이어야 한다(한쪽만 홀순열이 될 수 없다).
(2) 코너 방향의 합은 3의 배수여야 한다.
(3) 엣지 방향의 합(플립 수)은 2의 배수여야 한다.
반대로 이 3가지 조건을 만족하는 배열은 모두 실제로 도달 가능하다는 것이 알려져 있습니다.

배열의 총 개수

3x3x3 큐브의 배열 수는 43,252,003,274,489,856,000가지(약 4,325경 가지), 2x2x2 큐브는 3,674,160가지로 널리 알려져 있습니다.

2x2x2의 경우

2x2x2 큐브에는 엣지가 없으므로 위 (1)(3)의 제약은 사라지고, 코너 방향의 합이 3의 배수라는 조건만 남습니다(순열 자체는 자유).

4x4x4, 5x5x5의 패리티 현상

4x4x4나 5x5x5에서는 같은 색의 센터나 엣지 페어를 구별할 수 없기 때문에, 3x3x3 방식으로 환원하면 겉보기에 「한 쌍만 뒤바뀐」 것처럼 보이는 상태(흔히 OLL 패리티, PLL 패리티라 부름)가 생길 수 있습니다. 이는 비합법 상태가 아니라 짝수 큐브 특유의 잘 알려진 현상입니다.

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