合法な盤面とは？

「合法な盤面」とは、揃った状態から実際に面を回す操作だけで到達できる配置のことです。パーツを分解して並べ替えたり、ステッカーを貼り替えたりしないと作れない配置は「非合法」と呼ばれます。

3x3x3が合法であるための3条件

よく知られている群論的な事実として、3x3x3キューブの配置が実際に到達可能（合法）であるためには、次の3条件をすべて満たす必要があります。
(1) コーナーの置換とエッジの置換は、ともに偶置換でなければならない（片方だけが奇置換になることはできない）。
(2) コーナーの向きの合計は3の倍数でなければならない。
(3) エッジの向きの合計（フリップ数）は2の倍数でなければならない。
逆に、この3条件を満たす配置はすべて実際に到達可能であることが知られています。

配置の総数

3x3x3キューブの配置数は 43,252,003,274,489,856,000（約4325京通り）、2x2x2キューブの配置数は 3,674,160 であることが広く知られています。

2x2x2の場合

2x2x2キューブにはエッジが存在しないため、上記(1)(3)の制約はなくなり、コーナーの向きの合計が3の倍数であることだけが条件になります（置換自体は自由）。

4x4x4・5x5x5のパリティ現象

4x4x4や5x5x5では、色の同じセンターやエッジのペアが見分けられないため、3x3x3の手順に還元して解こうとすると、見かけ上「1組だけ入れ替わっている」ように見える状態（一般に「OLLパリティ」「PLLパリティ」と呼ばれます）が生じることがあります。これは非合法な状態ではなく、偶数サイズのキューブに特有の、広く知られた現象です。

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