ما الذي يجعل الوضع قانونيًا؟

الوضع «القانوني» هو أي ترتيب يمكن الوصول إليه فعليًا من المكعب المحلول بمجرد تدوير أوجهه. أما الترتيبات التي لا يمكن تحقيقها إلا بتفكيك المكعب وإعادة تجميعه، أو نزع الملصقات، فتسمى «غير قانونية».

الشروط الثلاثة لقانونية 3x3x3

من الحقائق المعروفة في نظرية الزمر أن ترتيب 3x3x3 لا يكون قابلًا للوصول فعليًا (قانونيًا) إلا إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية جميعها.
(1) يجب أن يكون تبديل الزوايا وتبديل الحواف كلاهما زوجيًا.
(2) يجب أن يكون مجموع اتجاهات الزوايا من مضاعفات 3.
(3) يجب أن يكون مجموع اتجاهات الحواف (عدد الحواف المقلوبة) من مضاعفات 2.
وبالعكس، فإن كل ترتيب يحقق هذه الشروط الثلاثة قابل للوصول فعليًا.

كم عدد الترتيبات الممكنة؟

يحتوي مكعب 3x3x3 على 43٬252٬003٬274٬489٬856٬000 ترتيبًا مختلفًا، بينما يحتوي مكعب 2x2x2 على 3٬674٬160 ترتيبًا. هذه الأرقام معروفة على نطاق واسع.

حالة 2x2x2

لا يحتوي مكعب 2x2x2 على حواف، لذا يسقط الشرطان (1) و(3) أعلاه؛ ولا يتبقى سوى شرط أن يكون مجموع اتجاهات الزوايا من مضاعفات 3.

ظاهرة التكافؤ (parity) في 4x4x4 و5x5x5

في 4x4x4 و5x5x5، لا يمكن التمييز بين القطع المركزية والحواف المزدوجة ذات اللون نفسه، لذا فإن الاختزال إلى حل بأسلوب 3x3x3 قد يترك حالة تبدو وكأن «زوجًا واحدًا فقط قد تبادل مكانه» (تُعرف عادة بتكافؤ OLL أو تكافؤ PLL). هذه ليست حالة غير قانونية، بل ظاهرة معروفة خاصة بالمكعبات ذات الحجم الزوجي.

© アサラボ