Qu'est-ce qu'une position légale ?

Une position « légale » est un arrangement réellement atteignable depuis le cube résolu en tournant simplement ses faces. Un arrangement qui ne peut être obtenu qu'en démontant le cube ou en décollant des autocollants est dit « illégal ».

Les 3 conditions de légalité d'un 3x3x3

Il est bien connu, en théorie des groupes, qu'un arrangement de 3x3x3 n'est réellement atteignable (légal) que si les trois conditions suivantes sont réunies.
(1) La permutation des coins et celle des arêtes doivent toutes deux être paires (l'une ne peut pas être impaire sans l'autre).
(2) La somme des orientations des coins doit être un multiple de 3.
(3) La somme des orientations des arêtes (le nombre d'arêtes retournées) doit être un multiple de 2.
Réciproquement, tout arrangement satisfaisant ces trois conditions est effectivement atteignable.

Combien y a-t-il d'arrangements ?

Le 3x3x3 compte 43 252 003 274 489 856 000 arrangements distincts (environ 43 trillions), et le 2x2x2 en compte 3 674 160. Ces chiffres sont largement connus.

Le cas du 2x2x2

Le 2x2x2 n'a pas d'arêtes : les conditions (1) et (3) ci-dessus disparaissent, et il ne reste que la condition sur les coins (somme des orientations multiple de 3), la permutation étant libre.

La parité sur 4x4x4 et 5x5x5

Sur 4x4x4 et 5x5x5, les centres et les paires d'arêtes de même couleur sont indiscernables : en réduisant à une résolution façon 3x3x3, on peut se retrouver avec ce qui semble être « une seule paire échangée » (couramment appelé parité OLL ou parité PLL). Ce n'est pas un état illégal, mais un phénomène bien connu propre aux cubes de taille paire.

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