Co Czyni Ułożenie Legalnym?

„Legalne” ułożenie to takie, które można faktycznie osiągnąć z ułożonej kostki, obracając jedynie jej ściany. Ułożenia, które można stworzyć tylko poprzez rozłożenie kostki i ponowne złożenie lub odklejenie naklejek, nazywane są „nielegalnymi”.

3 warunki legalności 3x3x3

Z teorii grup dobrze wiadomo, że ułożenie 3x3x3 jest faktycznie osiągalne (legalne) tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie trzy poniższe warunki.
(1) Permutacja rogów i permutacja krawędzi muszą być obie parzyste.
(2) Suma orientacji rogów musi być wielokrotnością 3.
(3) Suma orientacji krawędzi (liczba odwróconych krawędzi) musi być wielokrotnością 2.
I odwrotnie, każde ułożenie spełniające te trzy warunki jest faktycznie osiągalne.

Ile jest ułożeń?

Kostka 3x3x3 ma 43 252 003 274 489 856 000 różnych ułożeń, a kostka 2x2x2 ma 3 674 160. Te liczby są powszechnie znane.

Przypadek 2x2x2

Kostka 2x2x2 nie ma krawędzi, więc powyższe warunki (1) i (3) odpadają; pozostaje tylko warunek, że suma orientacji rogów musi być wielokrotnością 3.

Parzystość na 4x4x4 i 5x5x5

Na kostkach 4x4x4 i 5x5x5 jednakowo kolorowe środki i pary krawędzi są nierozróżnialne, więc redukcja do rozwiązania w stylu 3x3x3 może pozostawić stan wyglądający jak „tylko jedna zamieniona para” (powszechnie zwany paritetem OLL lub PLL). Nie jest to stan nielegalny, lecz dobrze znane zjawisko charakterystyczne dla kostek o parzystym rozmiarze.

© アサラボ